Dérivée de e^u(x) où u est une fonction dérivable

Si la fonction u est dérivable sur un intervalle I alors la fonction e^u est dérivable sur I et : (e^u)' = u'e^u

Exemple 1 : (Metropole - la Réunion juin 2016 excercice 1)
3. On considère la fonction f définie sur R par f (x) = (x+1)e^-2x+3. La fonction f est dérivable sur R et sa fonction dérivée f' est donnée par :

a. f'(x) = -2e-2x+3	b. f'(x) = e-2x+3
c. f'(x) = (-2x + 3)e-2x+3	d. f'(x) = (-2x - 1)e-2x+3

On a f = u×v donc f' = u'×v + u×v'
u(x) = x + 1 et v(x) = e^-2x+3 d'où u'(x) = 1 et v'(x) = -2e^-2x+3
f'(x) = 1×e^-2x+3 + (x + 1)×(-2e^-2x+3) = (1 - 2x - 2)e^-2x+3 = (-2x - 1)e^-2x+3
On factorise par e^-2x+3. Ne pas oublier de multiplier (x + 1) par -2.
Seule la réponse d. est correcte.

Exemple 2 : (Nouvelle-Calédonie novembre 2016 exercice 1)
1. On considère f la fonction définie sur R par f(x) = (2x +3)e^-x .

a. f'(x) = 2e-x	b. f'(x) = -2e-x
c. f'(x) = (2x + 5)e-x	d. f'(x) = (-2x - 1)e-x

En procédant comme dans l'exemple 1 on obtient :
On a f = u×v donc f' = u'×v + u×v'
u(x) = 2x + 3 et v(x) = e^-x d'où u'(x) = 2 et v'(x) = -e^-x
f'(x) = 2×e^-x + (2x + 3)×(-e^-x) = (2 - 2x - 3)e^-x = (-2x - 1)e^-x
On factorise par e^-x. Ne pas oublier de multiplier (2x + 3) par "-1".
Seule la réponse d. est correcte.

3. On considère g la fonction définie sur R par : g(x)= 5e^x + 3. La tangente à la courbe représentative de g au point d'abscisse 0 passe par le point :

a. A(1 ; 5e + 3)	b. B(-1 ; 5)
c. C(1; 13)	d. D(0; 3)

L'équation réduite de la tangente à une courbe représantative d'une fonction f au point d'absciss a est : y = f'(a)(x - a) + f(a)
Ici a = 0 et on considère la fonction g(x) = 5e^x + 3. On a alors g'(x) = 5e^x
g(0) = 5e⁰ + 3 = 5 + 3 = 8 et g'(0) = 5e⁰ = 5.
L'équation de la tangente est : y = 5(x - 0) + 8 = 5x + 8.
Elle passe donc par les points (-1 ; 3) ; (0 ; 8) et (1 ; 13)
Seule la réponse c. C(1 ; 13) est correcte.