Définition de la fonction logarithme népérien
La fonction exponentielle est definie et strictement croissante sur R. De plus, pout tout réel x, ex > 0.
On peut donc définie sa fonction réciproque qui a tout x strictement positif associe le réel t tel que et = x.
Cette fonction est appelée fonction logarithme népérien. Elle est notée ln.
Ainsi, ln(x) est l'unique réel t, tel que et = x.
Courbe représentative
La courbe repréentative de la fonction logarithme népérien s'obtient à partir de celle de la fonction exponentiel par symétrie axiale par ropport à la droite y = x.
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Propriétés
Pour tout x ∈ ]0 ; +∞[ et pour tout y ∈ R, ey = x ⇔ y = ln(x)
On sait que e0 = 1 et e = e1 donc ln(1) = 0 et ln(e) = 1.
La fonction ln est définie et strictement croissante sur ]0 ; +∞[.
Si x > 1 alors ln(x) > 0 et Si 0 < x < 1 alors ln(x) < 0
Plus généralement, pour tous rééls x > 0 et y > 0:
ln(x) = ln(y) ⇔ x = y et ln(x) > ln(y) ⇔ x > y
Autres propriétes
Des propriétés similaires à celles vues pour la fonction exponentielle existent :
| ln(x×y) = ln(x) + ln(y) ; |
ln(1/x) = -ln(x) ; |
ln(x/y) = ln(x) - ln(y) ; |
ln(xn) = n×ln(x) |
| Remarque : √x = x1/2 donc ln(√x) = |
1
2 |
ln(x) |
Exemple 1 : (Métropole - La Réunion juin 2019 Exercice 1)
3. On considère l'équation suivante :
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ln(x2) - ln( |
x5
e |
) + ln(2) = ln(2x) + 5 |
Affirmation 3 :1/e est l'unique solution de cette équation.
Pour tout x > 0 on a :
| ln(x2) - ln( |
x5
e |
) + ln(2) = ln(2x) + 5 ⇔ |
2×ln(x) - 5×ln(x) + ln(e) + ln(2) = ln(2) + ln(x) + 5 |
| ⇔ |
-3×ln(x) - ln(x) = -ln(e) + 5 |
| ⇔ |
-4×ln(x) = -1 + 5 |
| ⇔ |
ln(x) = -4/4 |
| ⇔ |
x = e-1 = 1/e |
L'affirmation 3 est Vraie.
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