Combinatoire et dénombrement

Stratégie.

Pour bien commencer avec le dénombrement il faut se poser 2 questions.
- La première "Est-ce que l'ordre compte ?".
- La seconde, si l'ordre compte, "Est-ce qu'il y a répétion ?".

L'ordre ne compte pas L'ordre compte

Tirage simultané

sans ordre et sans répétition.

On choisit k éléménts parmi n.

★ Combinaison :

( n
k ) = n!
k!(n-k)!

Attention : Tirage simultané dans ensemble avec des éléments présent plusieurs fois!
La répétition est possible La répétition n'est pas possible

Tirage succéssif avec remise

avec ordre et répétition.

On repéte k fois des éléménts choisis parmi n.
(on peut avoir k ≥ n ou k ≤ n)

★ k-liste ou k-uplet :
n^k

Tirage succéssif sans remise

avec ordre mais sans répétition.

On arrange k éléménts dans n emplacements.

★ Arrangement :

n × (n-1) × ... × (n-k+1) = n!
(n-k)!

★ Permutation (k = n) :
n!

Exemple de transition : Arbre pondéré vs Dénombrement

Exemple 1 : On tire simultanément trois jetons indiscernables au touché dans une urne contenant 6 jetons noirs et 4 jetons rouges.
Calculer les probabilités des événements suivants :
A : "On tire 3 jetons rouges." et B : "On tire un seul jeton rouge."

a. A l'aide d'un arbre pondéré
Avec un tirage simultané l'ordre n'a pas d'importance.
On peut toutefois s'aider d'un arbre pondéré.

Seul le chemin (h) donne 3 jetons rouges.

p(A) = 4
10 × 3
9 × 2
8 = 1
30

Pour l'événement B,
il y à 3 chemins qui correspondent (b, c, et e),

p(B) = 6
10 × 5
9 × 4
8 + 6
10 × 4
9 × 5
8 + 4
10 × 6
9 × 5
8

= 6
10 × 5
9 × 4
8 × 3 = 4
8 = 1
2

4/8 N (a)

5/9 N

4/8 R (b)

N

5/8 N (c)

6/10 4/9 R

3/8 R (d)

•

5/8 N (e)

4/10 6/9 N

3/8 R (f)

R

6/8 N (g)

3/9 R

2/8 R (h)

b. En utilisant un dénombrement
En utilisant la méthode du dénombrement. L'ordre n'ayant pas d'importance on utilise généralement les combinaisons.
Il faut d'abord calculer le nombre de tirages possibles. Ici, on tire 3 jetons parmi les 10 disponibles.

Soit ( 10
3 ) =     10!
3!(10-3)! =     10×9×8×7!
3×2×7! = 10×3×4 = 120 possibilités

Pour l'événement A, cela revient à choisir 3 jetons rouges parmi 4, soit ( 4
3 ) = ( 4
1 ) = 4

D'où p(A) =   4
120 = 1
30

Pour l'événement B, on considère le nombre d'éléments correspondant au tirage d'un jetons parmi les 4 rouges et le nombre d'éléments correspondnat au tirage simulané de deux jetons parmi les 6 noirs. D'après le principe multiplicatif le nombre d'éléments de B est :

( 4
1 ) × ( 6
2 ) = 4 ×     6!
2!(6-2)! = 4 × 6×5×4!
2×4! = 4×3×5 = 60 possibilités

Par conséquent p(B) = 60
120 = 1
2

Remarque : Les deux méthodes conduisent aux mêmes résultats...