La tangente à une courbe en un point A peut être vu comme la position limite de la droite (AM) quand le point M situé sur la courbe tend vers A.
Si on prend A d'abscisse a et M d'abscisse a + h, alors les coordonnées de ces points sont
A(a ; f(a)) et M( a + h ; f((a + h)) et le coefficient directeur α de la droite (AM)
| α = | yM - yA xM - xA |
= | f(a + h) - f(a) h |
= | f(a + h) - f(a) h |
L'équation réduite de la droite (AM) est de la forme y = αx + β
Or A ∈ (AM) donc f(a) = α×a + β d'où β = f(a) - α×a
Ainsi on a : y = αx + f(a) - αa soit encore y = α(x - a) + f(a)
Lorsque M tend vers A, h tend vers 0 et le coefficient directeur de la droite (AM) qui n'est autre que le taux d'accroissement τ(h) vu précédemment tend vers f'(a).
Il en résulte que l'équation réduite de la tangente à une courbe représentative d'une fonction f dérivable en un point a est de la forme :
y = f'(a) (x - a) + f(a)
Exercice : Soit f la fonction définie sur R par f(x) = x3 et C sa courbe représentative.
1. a. Montrer que (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3.
b. En déduire l'expression de f(1 + h) en fonction de h.
2. a. Montrer que f est dérivable en 1 et préciser son nombre dérivé en ce point.
b. En déduire l'équation réduite de la tangente T à la courbe C au point d'abscisse 1.
3. On pose g(x) = f(x) - (3x - 2)
a. Donner l'expression de g(x) puis calculer g(1).
b. Trouver les réels a, b tels que g(x) = (ax + b)(x - 1)2
c. En déduire le signe de g(x).
d. Que peut-on en conclure quand à la position de T par rapport à C ?
Eléments de réponse...
| On pose t(h) = | f(1 + h) - f(1) h |
= | 3 + 3h + h2 et | lim h→0 |
t(h) = 3 |
| signe de | -∞ | -2 | 1 | +∞ | |||
| x + 2 | - | 0 | + | ¦ | + | ||
| (x - 1)2 | + | ¦ | + | 0 | + | ||
| (x + 2)(x - 1)2 | - | 0 | + | 0 | + |