Introduction

Si une fonction f est dérivable pour tout réel a d'un intervalle D (en général son domaine de défintion) alors son nombre dérivé en ce point est un réel.
On peut donc définir une fonction qui à tout élément de D associe un et un seul élément de R. On note cette fonction f'.

On a vu que la fonction carrée est dérivable pour tout réel a et que le nombre dérivé en ce point est 2a.
On peut écrire que pour tout réel x, si f(x) = x² alors f'(x) = 2x.

Dérivées des fonctions usuelles

fonction f	Domaine de Définition	fonction f'	Domaine de Dérivabilité	Remarque
f(x) = k	ℝ	f'(x) = 0	ℝ
f(x) = x	ℝ	f'(x) = 1	ℝ
f(x) = x2	ℝ	f'(x) = 2x	ℝ
f(x) = x3	ℝ	f'(x) = 3x2	ℝ
f(x) = √x	ℝ+	f'(x) = 1/2√x	ℝ+*	ℝ+ = [0;+∞[ ; ℝ+* = ]0;+∞[
f(x) = 1/x	ℝ*	f'(x) = -1/x2	ℝ*	ℝ*, plus rigoureusement sur ]-∞;0[ et sur ]0;+∞[
f(x) = xn	ℝ (n ∈ ℕ*)	f'(x) = nxn-1	ℝ (n ∈ ℕ*)	n entier et n ≠ 0

Remarque : f'(x) = nx^n-1 utilisable pour n ∈ ℤ (voire ℚ ou ℝ).
Attention aux domaines de définition et de dérivabilité !
f(x) = 1/x = x^-1 ; f'(x) = -1.x^-2 = -1/x²
f(x) = √x = x^1/2 ; f'(x) = (1/2).x^-1/2 =1/2√x

Propriétés

Le produit d'une fonction dérivable par un réel non nul est une fonction dérivable.
(si on multiplie par 0 ça marche aussi mais c'est sans intérêt !).

La somme de deux fonctions dérivables est une fonction dérivable.
(une somme de fonctions dérivables est une fonction dérivable).

Le produit de deux fonctions dérivables est une fonction dérivable.
(un produit de fonctions dérivables est une fonction dérivable).

Exemple : Soit f(x) =

1 2

x2 + 3x -

1 x

Montrer que la fonction f est dérivable en précisant sur quel domaine. Calculer f'(x).
Les fonctions du type axⁿ avec n entier sont dérivables sur I = ℝ.
La fonction inverse est dérivable sur J = ℝ* (comprendre sur ]-∞;0[ et sur ]0;+∞[).
Or une somme de fonctions dérivables est une fonction dérivable,
f est donc dérivable sur I ∩ J = ℝ* c'est à dire sur ]-∞;0[ et sur ]0;+∞[.

f'(x) =

1 2

× 2x + 3 -

-1 x2

=

x + 3 +

1 x2