Si u et v designent deux fonctions dérivables sur un intervalle D
alors f = u + v est dérivable sur D et f' = u' + v'.
Si u et v designent deux fonctions dérivables sur un intervalle D
alors f = u×v est dérivable sur D et f' = u'×v + u×v'.
f(a+h) - f(a) = (u×v)(a+h) - (u×v)(a) = u(a+h)×v(a+h) - u(a)×v(a) = u(a+h)×v(a+h) - u(a)×v(a) + u(a)×v(a+h) - u(a)×v(a+h) = u(a+h)×v(a+h) - u(a)×v(a+h) + u(a)×v(a+h)- u(a)×v(a) = [u(a+h) - u(a)]×v(a+h) + u(a)×[v(a+h)- v(a)] Or u et v sont deux fonctions dérivables donc
lim h→0 |
[u(a+h) - u(a)] h |
= u'(a) ; | lim h→0 |
[v(a+h) - v(a)] h |
= v'(a) et | lim h→0 |
v(a+h) = v(a) |
Par conséquent, | lim h→0 |
f(a+h) - f(a) h |
= f'(a) = u'(a)×v(a) + u(a)×v'(a) |
Si u et v sont deux fonctions dérivables sur un intervalle D et si v(x)≠ 0 pour tout x ∈ D
alors f = | u v |
est dérivable sur D et f' = | u'v - uv' v2 |
f(a+h) - f(a) = | u v |
(a+h) - | u v |
(a) = | u(a+h) v(a+h) |
- | u(a) v(a) |
= | u(a+h)×v(a) - u(a)×v(a+h) v(a+h)×v(a) |
= | u(a+h)×v(a) - u(a)×v(a+h) + u(a)×v(a) - u(a)×v(a) v(a+h)×v(a) |
||||||||
= | u(a+h)×v(a) - u(a)×v(a) + u(a)×v(a) - u(a)×v(a+h) v(a+h)×v(a) |
||||||||
= | [u(a+h) - u(a)]×v(a) - u(a)×[v(a+h) - v(a)] v(a+h)×v(a) |
Il en résulte que | lim h→0 |
f(a+h) - f(a) h |
= f'(a) = | u'(a)×v(a) - u(a)×v'(a) v2(a) |
Exemple : Soit f(x) = | (x - 2) (x2 + 1) |
On a f = | u v |
ainsi, f' = | u'v - uv' v2 |
f'(x) = | 1×(x2 + 1) - (x - 2)(2x) (x2 + 1)2 |
= | x2 + 1 - 2x2 + 4x (x2 + 1)2 |
= | -x2 + 4x + 1 (x2 + 1)2 |