On peut facilement faire la démontrastion. On peut également utiliser le résultat obtenu pour la dérivée d'un produit.
On a vu que si f = u×v alors f' = u'×v + u×v' avec v = u.
on obtient : f = u2 et f' = 2u'×u.
En changeant v en u, on arrive a : f = | 1 u |
et f' = | - u' u2 |
Soit u une fonction dérivable sur un intervalle D et telle que u(x) ≥ 0 pour tout x ∈ D.
La fonction √u est définie sur D et sera dérivable pour tout x ∈ D sauf pour ceux tels que u(x) = 0.
√u(a+h) - √u(a) = | (√u(a+h) - √u(a))×(√u(a+h) + √u(a)) √u(a+h) + √u(a) |
= | u(a+h) - u(a) √u(a+h) + √u(a) |
Or | lim h→0 |
u(a+h) - u(a) h |
= u'(a) ; et | lim h→0 |
√u(a+h) = √u(a) |
Par conséquent, | lim h→0 |
√u(a+h) - √u(a) h |
= f'(a) = | u'(a) 2√u(a) |
On résume ceci par si f = √u alors f' = | u' 2√u |
Soit u une fonction dérivable sur un intervalle D et soit ax+b une fonction affine définie et dérivable sur ℝ. La fonction u(ax+b) est alors dérivable en tout points de D pour lesquels u(ax+b) existe et sa dérivée est :
(u(ax+b))' = a × u'(ax+b).
f'(x) = | -2x 2√1 - x2 |
Exemple 3 : Soit la fonction f(x) = | 1 2 |
x2 - | 1 2x -1 |
On a f = u - | 1 v |
Donc f' = u' + | v' v2 |
D'où f'(x) = x + | 2 (2x - 1)2 |
= | x(4x2 - 4x + 1) + 2 (2x - 1)2 |
= | 4x3 - 4x2 + x + 2 (2x - 1)2 |