Dérivée de u²

On peut facilement faire la démontrastion. On peut également utiliser le résultat obtenu pour la dérivée d'un produit. On a vu que si f = u×v alors f' = u'×v + u×v' avec v = u.
on obtient : f = u² et f' = 2u'×u.

Dérivée de 1/u

On peut utiliser l'expression de la dérivée d'un quotient avec u(x) = 1 et u'(x) = 0.

En changeant v en u, on arrive a : f =

1 u

et f' =

- u' u2

Dérivée de √u

Soit u une fonction dérivable sur un intervalle D et telle que u(x) ≥ 0 pour tout x ∈ D.
La fonction √u est définie sur D et sera dérivable pour tout x ∈ D sauf pour ceux tels que u(x) = 0.

√u(a+h) - √u(a) =

(√u(a+h) - √u(a))×(√u(a+h) + √u(a)) √u(a+h) + √u(a)

=

u(a+h) - u(a)   √u(a+h) + √u(a)

Or

lim h→0

u(a+h) - u(a) h

= u'(a) ; et

lim h→0

√u(a+h) = √u(a)

Par conséquent,

lim h→0

√u(a+h) - √u(a) h

= f'(a) =

u'(a)  2√u(a)

On résume ceci par si f = √u  alors f' =

u'  2√u

Dérivée de u(ax+b)

Soit u une fonction dérivable sur un intervalle D et soit ax+b une fonction affine définie et dérivable sur ℝ. La fonction u(ax+b) est alors dérivable en tout points de D pour lesquels u(ax+b) existe et sa dérivée est :
(u(ax+b))' = a × u'(ax+b).

Exemple 1 : Soit la fonction f(x) = √1 - x². Calculer f'(x).
On pose u(x) = 1 - x² d'où u'(x) = - 2x
u(x) = 0 pour x = 1 et x = -1. u(x) > 0 entre les racines car le coefficient de x² est négatif.
L'ensemble de définition de f est D_f = [-1 ; 1] et f est dérivable sur ]-1 ; 1[

f'(x) =

-2x   2√1 - x2

Exemple 2 : Soit la fonction f(x) = 5(x³ - 2x - 1)². Calculer f'(x).
On pose u(x) = x³ - 2x - 1 donc u'(x) = 3x² - 2
La fonction f est définie et dérivable sur ℝ ; f = 5×u² et f' = 10×u'×u.
f'(x) = 10×(3x² - 2)(x³ - 2x - 1)

Exemple 3 : Soit la fonction f(x) =

1 2

x2 -

1   2x -1

Calculer f'(x) et donner son expression sous forme d'un quotient unique.
La fonction f est définie pour tout x tel que 2x - 1 ≠ 0. D_f = ]-∞ ; 1/2[ ∪ ]1/2 ; +∞[.
f est dérivable sur chacun des intervalles qui forme son domaine de définition.

On a f = u -

1 v

Donc f' = u' +

v' v2

D'où f'(x) = x +

2     (2x - 1)2

=

x(4x2 - 4x + 1) + 2 (2x - 1)2

=

4x3 - 4x2 + x + 2 (2x - 1)2

Exemple 4 : Soit la fonction f(x) = (3x + 2)⁷. Déterminer f'(x).
On a f(x) = u(ax+b) avec a = 3, b = 2 et u(X) = X⁷, donc u'(X) = 7X⁶.
Par conséquent, f'(x) = 3 × 7(3x + 2)⁶ = 21(3x + 2)⁶.