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Lien entre dérivée et sens de variation. Extremum d'une fonction

Mise en évidence

On a vu que le coefficient directeur de la tangente à une courbe en un point a était le nombre dérivé f'(a).
Lorsque l'on observe les variations d'une fonction et l'évolution du coefficient directeur des tangentes, on constate que si la fonction est croissant, le coefficient directeur est positif et si la fonction est décroissant, le coefficient directeur est négatif.
On constate également que pour un extremum (minimum ou maximum local) la tangente est horizontale (coefficient directeur nul).

Applications de la dérivée

Soit f est une fonction dérivable sur un intervalle D
Si f' est strictement positive sur D alors f est strictement croissante sur D.
Si f' est strictement négative sur D alors f est strictement décroissante sur D.
Si f' est nulle sur D alors f est constante sur D.

Si f' s'annule en changeant de signe alors f admet un extremum.

Si f admet un extremum en x0 alors f'(x0) = 0.
Attention la réciproque n'est pas vraie !

Exemple : Etude des varations des fonctions f(x) = x2 et g(x) = x3
f(x) = x2 -∞   0   +∞   g(x) = x3 -∞   0   +∞
signe de
f'(x) = 2x		   - 0 +     signe de
g'(x) = 3x2		   + 0 +  
variation
de f(x)		   ↘ 0 ↗     variation
de g(x)		   ↗ 0 ↗  
f admet un extremum   g n'admet pas d'extremum

Exercice : On considère la fonction défnie sur [-2 ; 4] par : f(x) =  1
4		 x4 -  2
3		 x3 -  3
2		 x2 + 5 

1. Calculer f'(x) et étuder son signe sur [-2 ; 4].
f'(x) = 4× 1
4		 x3 - 3× 2
3		 x2 - 2× 3
2		 x + 0 = x3 - 2x2 - 3x = x(x2 - 2x - 3)
On a p(x) = x2 - 2x - 3 = (x + 1)(x - 3) car -1 racine "évidente". p(x) est négatif entre les racines -1 et 3. D'où le tableau des signes suivant :
signe de -2   -1   0   3   4
x   - ¦ - 0 + ¦ +  
(x2 - 2x - 3)   + 0 - ¦ - 0 +  
 x(x2 - 2x - 3)    - 0 + 0 - 0 +  

2. Dresser le tableau des variations de la fonction f.
On calcule les images par la fonction f de toutes les valeurs de x mentionnées dans le tableau des signes.
f(-2) =  1
4		 (-2)4 -  2
3		 (-2)3 -  3
2		 (-2)2 + 5  =  4 +  16
3		  - 6 + 5  =  3 +  16
3		  =  25
3
f(-1) =  1
4		  +  2
3		  -  3
2		  + 5   =  3 + 8 - 18
12		  + 5   =  -7
12		  + 5   =  53
12		    ;   f(0) = 5
f(3) =  1
4		 (3)4 -  2
3		 (3)3 -  3
2		 (3)2 + 5   =  81
4		  - 18 -  27
2		  + 5   =  81 - 54 - 52
4		  =  -25
4
f(4) =  1
4		 (4)4 -  2
3		 (4)3 -  3
2		 (4)2 + 5   =  64 -  128
3		  - 24 + 5 =  135 - 128
3		  =  7
3
   -2   -1   0   3   4
signe de f'(x)    - 0 + 0 - 0 +  
Variations
de f(x) 		  25/3       5       7/3
  ↘   ↗   ↘   ↗  
    53/12       -25/4