Fonction exponentielle

Transformation d'expression

Exemple 1 : Démontrer que pour tout réel x,

e^2x + 1
e^x - 1

= e^x ×

1 + e^-2x
1 - e^-x

Il existe plusieurs méthodes pour démontrer ce type d'égalité.
Méthode 1 : fonction généralement dans tous les cas, mais parfois longue et prend beaucoup de espace.
On part de l'expression comportant e^-x et e^-2x que l'on remplace par 1/e^x et 1/e^2x respectivement.

e^x × 1 + e^-2x = e^x × 1 +   1
    e^2x = e^x × e^2x + 1
e^2x = e^x × e^2x + 1
e^2x ×    e^x
e^x - 1 = e^2x + 1
e^x - 1

1 - e^-x 1 -   1
    e^x e^x - 1
e^x

Car on peut simplifier par e^2x = e^x×e^x

Méthode 2 : Généralement assez courte.
On part de l'expression comportant e^-x et e^-2x et on multiplie et on divise par e^x ou e^2x.

e^x × 1 + e^-2x
1 - e^-x = e^x + e^-x
1 - e^-x = e^x + e^-x
1 - e^-x × e^x
e^x = e^2x + 1
e^x - 1 Car e^x×e^-x = e⁰ = 1

Méthode 3 : Egualement assez courte, mais peut prendre un peu plus de place.
On part de l'expression comportant des e^x et e^2x et on factorise numérateur et dénominateur.

e^2x + 1
e^x - 1 = e^2x(1 + 1/e^2x)
e^x(1 - 1/e^x) = e^2x
e^x × 1 + e^-2x
1 - e^-x = e^x × 1 + e^-2x
1 - e^-x

Exemple 2 : Pour tout réel x, démontrer l'égualité suivante :   1 -   e^-x
1 + e^-x =   e^x
1 + e^x

  1 -   e^-x
1 + e^-x = 1 + e^-x - e^-x
1 + e^-x =   1
1 + e^-x =   1
1 + e^-x × e^x
e^x =   e^x
1 + e^x

Exemple 3 : Ecrire sous la forme e^f(x), où f(x) est une fonction du réel x.

A(x) = e × e^-x+2
(e^x)³ B(x) = e^2x-5 × e^x+1
e C(x) = e^2-x×(e^2x+1)³
e^-x-1×e^2x

A(x) = e¹ × e^-x+2
e^3x = e^-4x+3 ; B(x) = e^2x-5+x+1-1 = e^3x-5 ; C(x) = e^2-x×e^6x+3
e^x-1 = e^5x+5
e^x-1 = e^4x+6

Etudes de fonction contenant des exponentielles

Soit la fonction définie sur ℝ par f(x) = (x² - 1)e^x

1. Etudier le signe de f(x).
On sait que ∀ x ∈ ℝ, e^x > 0 donc le signe de f(x) est celui de x² - 1
Or x² - 1 = (x + 1)(x - 1). Polynôme du second degré dont les racines sont -1 et 1.
Le coefficient de x² est a = 1 (> 0). Le polynôme sera du signe de -a (< 0) entre les racines et du signe de a (> 0) à l'extérieur des racines.
Par conséquent, f(x) ≤ 0 pour x ∈ [-1 ; 1] et f(x) ≥ 0 pour x ∈ ]-∞ ; -1] ∪ [1 ; +∞[.

2. Déterminer f'(x). En déduire les variations de f(x).
f = u × v donc f' = u'×v + u×v'. Avec u(x) = x² - 1, u'(x) = 2x, v(x)= v'(x)= e^x d' où
f'(x) = (2x)×e^x + (x² - 1)×e^x =(x² + 2x - 1)e^x
f'(x) est donc du même signe que le polynôme du second degré ax² + bx + c avec a = 1, b = 2 et c = -1 car e^x > 0
Son discriminant Δ = b² - 4ac = 2² - 4×1×(-1) = 8. Δ > 0 donc 2 racines distinctes :

x₁ = -b - √Δ
2a = -2 - √8
2 = -2 - 2√2
2 = -1 - √2 et x₂ = -b + √Δ
2a = -2 + 2√2
2 = -1 + √2

Par conséquent, f'(x) est < 0 (signe de -a) entre les racines.

Δ > 0 -∞ x₁ x₂ +∞ avec
f(x₁) = 2(1 + √2)e^-1-√2
f(x₂) = 2(1 - √2)e^-1+√2

signe de f'(x) + 0 - 0 +

Variation
de f(x) (0) ↗ f(x₁) ↘ f(x₂) ↗ (+∞)

3. Résoudre l'inéquation x²e^x < e^x
x²e^x < e^x ⇔ x²e^x - e^x < 0 ⇔ (x² - 1)e^x < 0 ⇔ f(x) < 0.
D'après la question 1, l'ensemble des solutions est S = ]-1 ; 1[.

Autres exemples utiles

Montrer que pour tout x ∈ ℝ, e^x > x
On pose f(x) = e^x - x. f est définie et dérivable sur ℝ (somme de 2 fontions dérivables)

f'(x) = e^x - 1				La fonction f est donc strictement croissante sur [0 ; +∞[ strictement décroissante sur ]-∞ , 0] Elle admet un minimum pour x = 0 Or f(0) = 1 donc f(x) ≽ 1 > 0, ∀ x ∈ R e^x - x > 0 ⇔ e^x > x
f'(x) = 0 ⇔	e^x - 1 = 0	f'(x) > 0 ⇔	e^x - 1 > 0
⇔	e^x = 1	⇔	e^x > 1
⇔	e^x = e⁰	⇔	e^x > e⁰
⇔	x = 0	⇔	x > 0

e^x ×	1 + e^-2x	= e^x ×	1 + 1 e^2x	= e^x ×	e^2x + 1 e^2x	= e^x ×	e^2x + 1 e^2x	×	e^x e^x - 1	=	e^2x + 1 e^x - 1
	1 - e^-x		1 - 1 e^x		e^x - 1 e^x

Δ > 0	-∞		x₁		x₂		+∞	avec f(x₁) = 2(1 + √2)e^-1-√2 f(x₂) = 2(1 - √2)e^-1+√2
signe de f'(x)		+	0	-	0	+
Variation de f(x)	(0)	↗	f(x₁)	↘	f(x₂)	↗	(+∞)

Utilisations des propriétés

Transformation d'expression

Etudes de fonction contenant des exponentielles

Autres exemples utiles