Equations

Exemple 1 : Résoudre dans ℝ les équations suivantes :

a) e2x+1 = 1

b)e3x+1=

1  e2

c) (ex-1 + 2)(ex+2 - e) = 0

d) e2x2+x-3 = 0

On rappelle que : e^a = e^b ⇔ a = b.

a) 1 = e⁰ etPar conséquent :
e^2x+1 = 1 ⇔ e^2x+1 = e⁰ ⇔ 2x+1 = 0 ⇔ x = -1/2

b)

1  e2

= e-2, d'où

e3x+1=

1  e2

⇔

e3x+1 = e2 ⇔ 3x + 1 = -2 ⇔ x = -1

c) Un produit de facteurs est nul si l'un des facteurs est nul. Règle du Produit Nul.
(e^x-1 + 2)(e^x+2 - e) = 0 ⇔ e^x-1 + 2= 0 ou e^x+2 - e = 0 ⇔ e^x-1 = -2 ou e^x+2 = e
Or on sait que ∀ x ∈ ℝ e^x > 0 donc e^x-1 = -2 n'a pas de solution !
On a e = e¹ donc e^x+2 = e ⇔ x + 2 = 1 ⇔ x = -1. L'ensemble des solutions est S = {-1}

d) On sait que ∀ x ∈ ℝ e^x > 0 donc e^2x2+x-3 = 0 n'a pas de solution !

Exemple 2 : a) Résoudre dans ℝ l'équation 3X² + 4X - 7 = 0.
b) En déduire les solutions dans ℝ de l'équation : 3e^2x + 4e^x - 7 = 0

a) c'est une équation du second degré avec a = 3, b = 4 et c = -7.
Le discriminant est Δ = b² - 4ac = 4² - 4×3×(-7) = 100. Δ < 0 donc 2 racines distinctes :

X1 =

-b - √Δ 2a

=

-4 - 10 6

=

-7 3

et X2 =

-b + √Δ 2a

=

-4 + 10 6

=

1

Les solutions de l'équation initiale sont -7/3 et 1.

On sait que e^2x = (e^x)², ainsi en posant X = e^x la seconde équation revient a résoudre l'équation des la question a).
La forme factorisée de cette équation est a(X -X₁)(X - X₂) = 0. On peut alors écrire :
3e^2x + 4e^x - 7 = 0 ⇔ 3(e^x + 7/3)(e^x - 1) = 0 ⇔ e^x + 7/3 = 0 ou e^x - 1 = 0 ⇔ e^x = -7/3 ou e^x = 1
Or on sait que ∀ x ∈ ℝ e^x > 0 donc e^x = -7/3 n'a pas de solution !
on sait également que 1 = e⁰ donc e^x = 1 ⇔ e^x = e⁰ ⇔ x = 0.
La seule solution de l'équation est 0.

Exemple 3 : Résoudre dans ℝ les équations suivantes :
a) e^x -2e^-x + 1 = 0.
b) e^6x + 2e^3x - 3 = 0.
c) e^x + e^1-x = 1 + e.
Indice : a) et c) multiplier par e^x... b) X = e^3x.

Inéquations

Exemple 4 : Résoudre dans ℝ les inéquations suivantes :

a) e2x2+x-3 > 1

b)e-3x-2 ≥ e

c) (2ex + 1)(1 - ex) ≤ 0

d) e3x-1 - ex+5 < 0

On rappelle que : e^a > e^b ⇔ a > b. Ecriture valable en remplaçant > par < ; ≥ ou ≤.

a) 1 = e⁰. Par conséquent :
e^2x2+x-3 > 1 ⇔ e^2x2+x-3 > e⁰ ⇔ 2x² + x - 3 > 0 ⇔ (x - 1)(2x + 3) > 0
Factorisation car 1 est racine évidente, sinon Δ... Or un trinôme du second degré est du signe de a (coefficient de x², ici a = 2 > 0) à l'extérieur des racinces (1 et -3/2). Par conséquent l'ensemble des solutions de l'inéquation proposée est S = ]-∞ ; -3/2[ ∪ ]1 ; +∞[

b) e = e¹. Par conséquent :
e^-3x-2≥ e ⇔ e^-3x-2 ≥ e¹ ⇔ -3x - 2 ≥ 1 ⇔ x ≤ -1 (attention division par nombre négatif!)
L'ensemble des solutions de cette inéquation est S = ]-∞ ; -1]

c) On sait que ∀ x ∈ ℝ, e^x > 0 donc 2e^x + 1 > 0 .
Le signe de l'expression de gauche est ainsi le même que celui de 1 - e^x.
Or 1 - e^x ≤ 0 ⇔ - 1 + e^x ≥ 0 ⇔ e^x ≥ 1 ⇔ e^x ≥ e⁰ ⇔ x ≥ 0
L'ensemble des solutions de cette inéquation est S = [0 ; +∞[ (ℝ⁺)

d) On transforme l'inéquation proposée de manière à faire apparaître une que l'on sait faire...
e^3x-1 - e^x+5 < 0 ⇔ e^3x-1 < e^x+5 ⇔ 3x-1 < x+5 ⇔ 2x < 6 ⇔ x < 3
L'ensemble des solutions de l'inéquation initiale est S = ]-∞ ; 3[

Exemple 5 : On considère le trinôme T = -5X² + 3X + 2
a) Factoriser T.
b) En déduire une factorisation de f(x) = -5e^2x + 3e^x + 2.
c) Etudier le signe de f(x) sur ℝ.

Indices : a) (X - 1)(-5X - 2) b) X = e^x c) (-5X - 2) < 0 !...