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Equations et Inéquations.

Equations

Exemple 1 : Résoudre dans ℝ les équations suivantes :
a) e2x+1 = 1  b)e3x+1  1 
e2
c) (ex-1 + 2)(ex+2 - e) = 0  d) e2x2+x-3 = 0

On rappelle que : ea = eb ⇔ a = b.

a) 1 = e0 etPar conséquent :
e2x+1 = 1 ⇔ e2x+1 = e0 ⇔ 2x+1 = 0 ⇔ x = -1/2

b)   1 
e2
= e-2, d'où    e3x+1  1 
e2
 ⇔  e3x+1 = e2 ⇔ 3x + 1 = -2 ⇔ x = -1

c) Un produit de facteurs est nul si l'un des facteurs est nul. Règle du Produit Nul.
(ex-1 + 2)(ex+2 - e) = 0 ⇔ ex-1 + 2= 0 ou ex+2 - e = 0 ⇔ ex-1 = -2 ou ex+2 = e
Or on sait que ∀ x ∈ ℝ ex > 0 donc ex-1 = -2 n'a pas de solution !
On a e = e1 donc ex+2 = e ⇔ x + 2 = 1 ⇔ x = -1. L'ensemble des solutions est S = {-1}

d) On sait que ∀ x ∈ ℝ ex > 0 donc e2x2+x-3 = 0 n'a pas de solution !

Exemple 2 : a) Résoudre dans ℝ l'équation 3X2 + 4X - 7 = 0.
b) En déduire les solutions dans ℝ de l'équation : 3e2x + 4ex - 7 = 0

a) c'est une équation du second degré avec a = 3, b = 4 et c = -7.
Le discriminant est Δ = b2 - 4ac = 42 - 4×3×(-7) = 100. Δ < 0 donc 2 racines distinctes :
X1 -b - √Δ
2a
 =  -4 - 10
6
 =  -7
3
 et X2 -b + √Δ
2a
 =  -4 + 10
6
 =  1
Les solutions de l'équation initiale sont -7/3 et 1.

On sait que e2x = (ex)2, ainsi en posant X = ex la seconde équation revient a résoudre l'équation des la question a).
La forme factorisée de cette équation est a(X -X1)(X - X2) = 0. On peut alors écrire :
3e2x + 4ex - 7 = 0 ⇔ 3(ex + 7/3)(ex - 1) = 0 ⇔ ex + 7/3 = 0 ou ex - 1 = 0 ⇔ ex = -7/3 ou ex = 1
Or on sait que ∀ x ∈ ℝ ex > 0 donc ex = -7/3 n'a pas de solution !
on sait également que 1 = e0 donc ex = 1 ⇔ ex = e0 ⇔ x = 0.
La seule solution de l'équation est 0.

Exemple 3 : Résoudre dans ℝ les équations suivantes :
a) ex -2e-x + 1 = 0.
b) e6x + 2e3x - 3 = 0.
c) ex + e1-x = 1 + e.
Indice : a) et c) multiplier par ex... b) X = e3x.

Inéquations

Exemple 4 : Résoudre dans ℝ les inéquations suivantes :
a) e2x2+x-3 > 1  b)e-3x-2 ≥ e c) (2ex + 1)(1 - ex) ≤ 0  d) e3x-1 - ex+5 < 0

On rappelle que : ea > eb ⇔ a > b. Ecriture valable en remplaçant > par < ; ≥ ou ≤.

a) 1 = e0. Par conséquent :
e2x2+x-3 > 1 ⇔ e2x2+x-3 > e0 ⇔ 2x2 + x - 3 > 0 ⇔ (x - 1)(2x + 3) > 0
Factorisation car 1 est racine évidente, sinon Δ... Or un trinôme du second degré est du signe de a (coefficient de x2, ici a = 2 > 0) à l'extérieur des racinces (1 et -3/2). Par conséquent l'ensemble des solutions de l'inéquation proposée est S = ]-∞ ; -3/2[ ∪ ]1 ; +∞[

b) e = e1. Par conséquent :
e-3x-2≥ e ⇔ e-3x-2 ≥ e1 ⇔ -3x - 2 ≥ 1 ⇔ x ≤ -1 (attention division par nombre négatif!)
L'ensemble des solutions de cette inéquation est S = ]-∞ ; -1]

c) On sait que ∀ x ∈ ℝ, ex > 0 donc 2ex + 1 > 0 .
Le signe de l'expression de gauche est ainsi le même que celui de 1 - ex.
Or 1 - ex ≤ 0 ⇔ - 1 + ex ≥ 0 ⇔ ex ≥ 1 ⇔ ex ≥ e0 ⇔ x ≥ 0
L'ensemble des solutions de cette inéquation est S = [0 ; +∞[ (ℝ+)

d) On transforme l'inéquation proposée de manière à faire apparaître une que l'on sait faire...
e3x-1 - ex+5 < 0 ⇔ e3x-1 < ex+5 ⇔ 3x-1 < x+5 ⇔ 2x < 6 ⇔ x < 3
L'ensemble des solutions de l'inéquation initiale est S = ]-∞ ; 3[

Exemple 5 : On considère le trinôme T = -5X2 + 3X + 2
a) Factoriser T.
b) En déduire une factorisation de f(x) = -5e2x + 3ex + 2.
c) Etudier le signe de f(x) sur ℝ.

Indices : a) (X - 1)(-5X - 2) b) X = ex c) (-5X - 2) < 0 !...