Equations du type cos(x) = cos(y).

En observant le cercle trigonométrique, on constate que cos(α) = cos(-α). Etant donné que les mesures des angles sont définies modulo 2π, on aura :
 cos(x) = cos(y) ⇔ x = y + 2kπ, k ∈ ℤ; ou x = -y + 2kπ, k ∈ ℤ .

Equations du type sin(x) = sin(y).

On constate que sin(π - α) = sin(α) donc on pourra écrire :
 sin(x) = sin(y) ⇔ x = y + 2kπ, k ∈ ℤ; ou x = π - y + 2kπ, k ∈ ℤ .

Equations du type cos(x) = sin(y) ou sin(x) = cos(y).

On se ramene aux cas précédents en utilsant une formule trigonométrique "tranformant" un sinus en cosinus ou un cosinus en sinus ; sin(α) = cos(π/2 - α) ou cos(α) = sin(π/2 + α). Ainsi :
 cos(x) = sin(y) ⇔ cos(x) = cos(π/2 - y)  et  sin(x) = cos(y) ⇔ sin(x) = sin(π/2 + y) .

Equations du type cos(x) = a ou sin(x) = a.

Si a > 1 ou a < -1 alors les équatiuons n'ont pas de solution car
-1 ≤ cos(x) ≤ 1 et -1 ≤ sin(x) ≤ 1

Si -1 ≤ a ≤ 1 alors on cherche une valeur α telle que cos(α) = a ou sin(α) = a en utisant le tableau des valeurs remarquables. Si le nombre a n'est pas dans le tableau, on utilise la calculatrice pour donner une valeur approchée. On se ramene ainsi aux cas précédents :
 cos(x) = a ⇔ cos(x) = cos(α)  ou  sin(x) = a ⇔ sin(x) = sin(α) .

Exercice 1 : Soit la fonction f définie par f(x) = 2x³ + 5x² + x - 2
1. Montrer que f(x) = (x + 1)(2x - 1)(x + 2) puis résoudre l'équation f(x) = 0.

(x + 1)(2x - 1)(x + 2) = (2x² - x + 2x - 1)(x + 2) = (2x² + x - 1)(x + 2)
= 2x³ + 4x² + x² + 2x - x - 2 = 2x³ + 5x² + x - 2 = f(x)

2. En déduire les solutions de l'équation 2cos³(x) + 5cos²(x) + cos(x) - 2 = 0.

Exercice 2 : Soit l'équation cos(2x +

π 4

) =

1 2

1. Résoudre l'équation dans ℝ, puis sur les intervalles [0 ; 2π] et [-π ; π]

On sait que cos(

π 3

) =

1 2

. L'équation s'écrit alors :

cos(2x +

π 4

) =

cos(

π 3

) ⇔

2x +

π 4

=

π 3

+ 2kπ, k ∈ ℤ ou 2x +

π 4

=

-π 3

+ 2kπ, k ∈ ℤ

⇔

2x =

-π 4

+

π 3

+ 2kπ, k ∈ ℤ ou 2x =

-π 4

+

-π 3

+ 2kπ, k ∈ ℤ

⇔

2x =

π 12

+ 2kπ, k ∈ ℤ ou 2x =

-7π 12

+ 2kπ, k ∈ ℤ

⇔

x =

π 24

+ kπ, k ∈ ℤ ou 2x =

-7π 24

+ kπ, k ∈ ℤ

Sur l'intervalle [0 ; 2π] S = {

π 24

;

25π 24

;

17π 24

;

41π 24

} (k= 0 et 1 avec première solution ;    k = 1 et 2 avec seconde solution)

Sur l'intervalle [-π ; π] S = {

π 24

;

-23π 24

;

-7π 24

;

17π 24

} (k= 0 et -1 avec première solution ;    k = 0 et 1 avec seconde solution)

2. Représenter les solutions sur le cercle trigonométrique.

Pour placer le point A correspondant à l'angle π/24, on trace la bissectrice de l'angle π/6 donnant un angle de π/12, puis la bissectrice de cet angle. Le point B est obtenu par symétrie par rapport à l'origine. Pour placer le point D correspondant à l'angle -7π/24, on trace la bissectrice de l'angle formé par -π/3 et -π/4. Le point C est obtenu par symétrie par rapport à l'origine.